Energy methods for local or nonlocal problems in sub-Riemannian setting

La tesi riguarda principalmente lo studio di regolarità e proprietà qualitative di soluzioni di equazioni locali o non locali, invarianti e omogenee rispetto a leggi non commutative, le quali rendono la struttura dello spazio ambiente sottostante quella di un gruppo di Lie omogeneo. In particolare, studiamo gli effetti della perdita di compattezza nell'immersione critica di Sobolev nel gruppo di Heisenberg, mostrando che, anche in questo ambiente, vale una congettura di Brezis e Peletier. Inoltre presentiamo risultati di regolarità alla De Giorgi-Nash-Moser per equazioni frazionarie non lineari nel gruppo di Heisenberg, dimostrando anche la risolubilità (nel senso di Perron) per i relativi problemi di Dirichlet, in domini possibilmente irregolari e per dati al bordo molto generali. Infine, dimostriamo che soluzioni deboli di equazioni cinetiche a diffusione frazionaria soddisfano una disuguaglianza di Harnack forte.