Dynamical processes and memory effects on temporal networks

Comprendere il meccanismo di diffusione di una malattia è sempre stato un problema cruciale per la sanità e la società. In particolare la valutazione della soglia oltre la quale si verifica l'insorgenza di uno stato epidemico è uno dei problemi fondamentali per il controllo della sua diffusione. Dal punto di vista matematico, molti modelli sono stati formalizzati nel corso degli anni. In particolare l'introduzione della teoria dei networks ha migliorato significativamente sia l'analisi che la capacità di previsione di questi fenomeni, dando risultati più soddisfacenti. Molti degli studi sulle epidemie sono stati condotti su reti statiche, ma negli ultimi anni l'interesse verso i temporal networks è cresciuto rapidamente. Nonostante la maggiore complessità derivante dall'introduzione della variabile temporale, alcuni modelli consentono una comprensione analitica dei processi di diffusione. In particolare nel nostro lavoro prenderemo in considerazione il modello activity-driven in cui la variabile temporale è incorporata nella propensione di ogni individuo ad interagire con gli altri in un determinato momento. I rapporti sociali sono mossi anche dalla memoria che le persone hanno l'una dell'altra, preferendo interagire con le vecchie conoscenze a quelle nuove. In questo lavoro esploriamo gli effetti che il meccanismo della memoria in network variabile nel tempo ha su un processo di diffusione concentrandoci sulla dinamica delle epidemie. In particolare consideriamo due modelli epidemici standard: il suscettibile-infetto-suscettibile (SIS) e il suscettibile-infetto-recuperato (SIR), descrivendo rispettivamente malattie che non conferiscono o non conferiscono immunità dopo l'infezione. Formuliamo un approccio activity-based mean-field ottenendo analiticamente la soglia epidemica in funzione dei parametri che descrivono la distribuzione delle attività e la forza degli effetti della memoria. In particolare consideriamo il regime asintotico in cui l'infezione inizia solo quando le persone hanno avuto un numero sufficientemente elevato di connessioni nella propria cerchia sociale. In questo limite il processo dinamico può essere visto come un processo guidato dall'attività che evolve su un effective static network. I nostri risultati mostrano che la memoria amplifica le fluttuazioni di attività riducendo la soglia e aumentando la diffusione dell'epidemia sia nel modello SIS che nel modello SIR. Per dimostrare numericamente i risultati ottenuti simuliamo il processo epidemico sia sull'effective static network che sul network temporale, variando il parametro di memoria e il tempo di primo contagio. Confrontando il modello teorico con le simulazioni numeriche confermiamo le nostre previsioni nel limite asintotico. Dimostriamo inoltre che nel regime preasintotico ci sono forti effetti di aging che rendono la soglia epidemica profondamente influenzata dal momento di inizio del contagio. In particolare, per brevi tempi di inizio dell'infezione, le correlazioni indotte dalla memoria producono un forte effetto di backtracking sia nei processi SIS che SIR, abbassando o aumentando rispettivamente la soglia epidemica. Discutiamo in dettaglio l'origine delle correzioni preasintotiche dipendenti dal modello, ponendo le basi per potenziali metodi di controllo dell'epidemie su reti temporali fortemente correlate.